Em uma aula de matemática um aluno fez as seguintes afirmações: . a divisão entre dois números racionais não resulta em um número racional. . a multiplicação entre dois números rac

Gabarito

B

Comentário do professor

Duas afirmativas estão corretas: a multiplicação e a potenciação (no sentido usual com expoente inteiro) de números racionais produzem números racionais.

Para a multiplicação, escreva dois números racionais como \(a=\frac{p}{q}\) e \(b=\frac{r}{s}\), com \(p,q,r,s\in\mathbb{Z}\) e \(q,s\neq0\). Então \(ab=\frac{p}{q}\cdot\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}\), que é uma fração com numerador e denominador inteiros e denominador não nulo, logo racional.

Para a potenciação com expoente inteiro \(n\ge0\), seja \(a=\frac{p}{q}\); então \(a^n=\left(\frac{p}{q}\right)^n=\frac{p^n}{q^n}\), que é racional. Para expoentes inteiros negativos \(n\), desde que \(a\neq0\), tem‑se \(a^n=\frac{q^{|n|}}{p^{|n|}}\), também racional.

Em resumo, multiplicação e potenciação (com expoente inteiro) preservam a racionalidade.