Qual o menor número que devemos multiplicar ao número N para que ele se torne um quadrado perfeito?

Gabarito

D

Comentário do professor

Um número é quadrado perfeito quando, na fatoração em primos, todos os expoentes são pares.

Comece expondo \(N\) em primos: \(6^2=(2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2\). Assim

\(N=2^3\cdot3\cdot6^2=2^3\cdot3\cdot2^2\cdot3^2=2^{5}\cdot3^{3}\).

Observe que os expoentes são \(5\) e \(3\), ambos ímpares. Para torná-los pares precisamos multiplicar por \(2\) (para transformar \(5\) em \(6\)) e por \(3\) (para transformar \(3\) em \(4\)).

Portanto o menor multiplicador é \(2\cdot3=6\). Multiplicando, \(N\cdot6=2^{6}\cdot3^{4}\), que tem todos os expoentes pares e é um quadrado perfeito.

Como verificação, \(\sqrt{N\cdot6}=2^{3}\cdot3^{2}=8\cdot9=72\).