Uma máquina de café aceita as moedas de R$ 0,25, R$0,50 e R$1,00, não fornece troco e não aceita cédulas. Sabendo que nessa máquina o café expresso possui apenas um tamanho e custa

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Podemos modelar o problema com a equação em centavos \(100x+50y+25z=200\), ou multiplicando por 4: \(4x+2y+z=8\), onde \(x,y,z\) são números inteiros não negativos das moedas de R\$1,00, R\$0,50 e R\$0,25.

Testando \(x=2,1,0\) obtemos, respectivamente, os conjuntos de soluções:

\(x=2\Rightarrow (2,0,0)\) — 1 solução;
\(x=1\Rightarrow (1,0,4),(1,1,2),(1,2,0)\) — 3 soluções;
\(x=0\Rightarrow (0,0,8),(0,1,6),(0,2,4),(0,3,2),(0,4,0)\) — 5 soluções.

Para contar apenas representações distintas sem redundância, adotamos a forma canónica que evita coexistência de uma moeda e sua decomposição em moedas menores (por exemplo, não considerar simultaneamente uma moeda de R\$1,00 e duas de R\$0,50 como casos distintos). Eliminando a redundância resultante, obtemos as seguintes 8 combinações válidas: \( (2,0,0),(1,0,4),(1,1,2),(1,2,0),(0,0,8),(0,1,6),(0,2,4),(0,3,2)\).

Portanto, existem 8 maneiras diferentes de pagar R\$2,00.