Para que o número \(M = 2^x \cdot 3^2 \cdot 5\) tenha 24 divisores, o valor de M é:

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Temos \(M=2^{x}\cdot3^{2}\cdot5^{1}\). Para saber quantos divisores tem um número fatorado, multiplicamos cada expoente somado a 1.

A quantidade de divisores é \((x+1)\times(2+1)\times(1+1)=(x+1)\times3\times2\). Como M tem 24 divisores, \((x+1)\times6=24\), logo \(x+1=4\) e x=3.

Substituindo, \(M=2^{3}\cdot3^{2}\cdot5=8\cdot9\cdot5=360\). Assim, 360 é o valor de M.

Observação breve: para cada primo com expoente \(e\) há \(e+1\) escolhas de expoente no divisor (0 a \(e\)). Pelo princípio fundamental da contagem multiplicam-se essas opções para obter o total de divisores.