Um paliteiro é formado por um recipiente e 12 palitos de polímero. No setor de produção da empresa que fabrica esse paliteiro, é feita a pintura de todos os palitos para que o aspe

Gabarito

A

Comentário do professor

Temos 12 palitos que serão pintados com cinco cores, e cada paliteiro deve conter pelo menos um palito de cada cor. A cor do recipiente é fixa e não interfere na contagem.

Como só importa quantos palitos de cada cor existem, trata-se de distribuir 12 itens indistinguíveis em 5 categorias. Garantindo uma unidade em cada cor, reservamos 5 palitos e sobra distribuir 7 palitos livremente entre as 5 cores (permitindo zero em cada após a reserva).

Sejam \(y_1,\dots,y_5\) as quantias adicionais em cada cor, então \(y_1+\dots+y_5=7\) com \(y_i\ge0\). Pelo princípio das barras e estrelas, o número de soluções é \(\binom{7+5-1}{5-1}=\binom{11}{4}\).

Calculando, \(\binom{11}{4}=330\). Portanto, existem 330 modelos distintos do paliteiro.