Determine K para que a equação \(x^2 + 2x + 4K = 0\) possua duas raízes de mesmo sinal.

Gabarito

B

Comentário do professor

Queremos \(K\) tal que as duas raízes tenham o mesmo sinal. Uma maneira direta é usar o produto das raízes: para a equação \(ax^2+bx+c=0\) vale \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\). Aqui \(x_1x_2=\dfrac{4K}{1}=4K\). Para que ambas sejam do mesmo sinal, o produto deve ser positivo, ou seja \(4K>0\), portanto \(K>0\).

Além disso as raízes precisam ser reais, logo o discriminante deve satisfazer \(\Delta=b^2-4ac\ge0\). Calculando: \(\Delta=2^2-4\cdot1\cdot4K=4-16K\ge0\), o que implica \(K\le\dfrac{1}{4}\).

Unindo as duas condições obtemos \(\;0