Dentre as opções abaixo, que valor de k faz \(x^2 - 7x + k\) ser um quadrado perfeito?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para que \(x^2-7x+k\) seja um quadrado perfeito, deve haver \(a\) tal que a expressão seja \((x-a)^2\).

Expandindo \((x-a)^2\) obtemos \(x^2-2ax+a^2\). Comparando coeficientes do termo em \(x\) com \(x^2-7x+k\), temos \(-2a=-7\), logo \(a=\dfrac{7}{2}\).

Assim, o termo independente deve ser \(a^2\), ou seja \(k=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2\).

Observando que \(\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2\), concluímos que a alternativa correta é \(k=\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2\), pois então

\((x-\tfrac{7}{2})^2=x^2-7x+\left(\tfrac{7}{2}\right)^2\).