O coeficiente de \(x^{n+1}\) no polinômio \(x^{n+3} + a.x^{n+2} + ...\) cujas raízes são 0 com multiplicidade 3 e 2 com multiplicidade n, é:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

As raízes 0 (multiplicidade 3) e 2 (multiplicidade \(n\)) implicam que o polinômio pode ser escrito como \(p(x)=x^3(x-2)^n\), pois o coeficiente líder é 1.

Expandindo \( (x-2)^n \) pelos primeiros termos do binômio: \( (x-2)^n = x^n - 2n x^{n-1} + 2n(n-1) x^{n-2} + \dots \).

Multiplicando por \(x^3\), o coeficiente de \(x^{n+2}\) é \(-2n\), que é dado como \(a\). Logo \(a=-2n\) e \(n=-\dfrac{a}{2}\).

O coeficiente de \(x^{n+1}\) vem do termo \(2n(n-1)x^{n-2}\) multiplicado por \(x^3\), ou seja \(2n(n-1)\). Substituindo \(n=-\dfrac{a}{2}\):

\(2n(n-1)=2\!\left(-\dfrac{a}{2}\right)\!\left(-\dfrac{a}{2}-1\right)=\dfrac{a^2+2a}{2}\).

Portanto o coeficiente pedido é \(\dfrac{a^2+2a}{2}\).