Se \(×_1\) e \(×_2\) são as raízes da equação: \(\log_{bx}b + 2 \log_xb + 3 \log_{b^2x}=0\), \(b ∈ R^*_+\), \(b≠1\), então \((x_1 . x_2)^6\) vale:

Gabarito

B

Comentário do professor

Façamos a mudança de base para a base \(b\). Usando \(\log_{u}v=\dfrac{\log_b v}{\log_b u}\) e chamando \( \log_b x = \em{y}\), a equação fica \(\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{y+2}=0\).

Somando as frações obtemos o numerador \(6y^2+11y+4=0\). Calculando a fórmula de Bhaskara com \(\Delta=25\), as raízes são \(y=-\tfrac{1}{2}\) e \(y=-\tfrac{4}{3}\).

Como \(y=\log_b x\), temos \(x_1=b^{-1/2}\) e \(x_2=b^{-4/3}\). O produto elevado a 6 é

\(\;(x_1\cdot x_2)^6=\big(b^{-1/2-4/3}\big)^6=\big(b^{-11/6}\big)^6=b^{-11}.\)

Portanto o valor é \(\boldsymbol{b^{-11}}\).