Sabendo-se que: \(\left[ { \large tg a \over sen x} - { \large tg b \over tg x} \right]^2 = tg^2a - tg^2b\), podemos afirmar que:

Gabarito

A

Comentário do professor

Seja \(tg\,a=A\) e \(tg\,b=B\). A equação fica \(\left[\dfrac{A}{sen\,x}-\dfrac{B}{tg\,x}\right]^2=A^2-B^2\).

Desenvolvendo o quadrado obtemos \(\dfrac{A^2}{sen^2x}-\dfrac{2AB}{sen\,x\cdot tg\,x}+\dfrac{B^2}{tg^2x}=A^2-B^2\).

Usando \(tg\,x=\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\) e multiplicando por \(sen^2x\) chega-se a \(A^2-2AB\cos x+B^2\cos^2x=sen^2x(A^2-B^2)\). Substituindo \(sen^2x=1-\cos^2x\) e simplificando resulta a quadrática

\(A^2\cos^2x-2AB\cos x+B^2=0\).

O discriminante é nulo, portanto \(\cos x=\dfrac{B}{A}\). Voltando às razões trigonométricas, \(\cos x=ctg\,a\cdot tg\,b\). Conclusão: a expressão apresentada é satisfeita por \(cos\,x=ctg\,a\cdot tg\,b\).