O menor valor positivo de �� para que seja possível o sistema: \(x - y = \alpha\) \(\begin{cases}2 (cos2x + cos 2y) = 1 + 4 cos^2 (x - y) \end{cases}\) é:

Gabarito

D

Comentário do professor

Partindo do sistema \(x-y=\alpha\) e \(2(\cos2x+\cos2y)=1+4\cos^2(x-y)\), aplicamos a identidade \(\cos2x+\cos2y=2\cos(x-y)\cos(x+y)\).

Isso leva a \(4\cos(x-y)\cos(x+y)=1+4\cos^2(x-y)\). Faça a substituição \(z=\cos(x-y)=\cos\alpha\), obtendo a quadrática \(4z^2-4\cos(x+y)z+1=0\).

Para que haja solução real em \(z\) o discriminante deve ser não negativo: \(16(\cos^2(x+y)-1)\ge0\), portanto \(\cos^2(x+y)=1\) e \(x+y=k\pi\). Assim \(\cos(x+y)=(-1)^k\).

Substituindo, vem \(z=\dfrac{(-1)^k}{2}\), ou seja \(\cos\alpha=\pm\dfrac12\). Os arcos possíveis positivos são \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\) e \(\alpha=\dfrac{2\pi}{3}\).

Logo, o menor valor positivo de \(\alpha\) que torna o sistema possível é \(\boxed{\dfrac{\pi}{3}}\).