O valor para \(sen\theta=1/2\) da expressão \(x=\frac{sen\theta-cos\theta}{tan\theta+cotg\theta}\)

Gabarito

B

Comentário do professor

Usamos a identidade \( \tan\theta+\cot\theta=\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\).

Assim a expressão simplifica para \(x=\dfrac{\sin\theta-\cos\theta}{1/(\sin\theta\cos\theta)}=(\sin\theta-\cos\theta)\sin\theta\cos\theta\).

Com \(\sin\theta=\tfrac{1}{2}\) e \(\cos\theta=\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) (casos de \(\theta=\pi/6\) ou \(\theta=5\pi/6\)), temos \(\sin\theta\cos\theta=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) e \(\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{1\mp\sqrt{3}}{2}\).

Multiplicando, \(x=\dfrac{\sqrt{3}(1\mp\sqrt{3})}{8}\) nos dois casos, o que dá valores distintos de \( \tfrac{1}{8}\).

Conclusão: aplicando identidades e substituições corretamente, o valor obtido não coincide com \( \tfrac{1}{8}\).