Questão FC434054
Sobre as raízes reais da equação 3sen 2 (x ) + 5 s en (x ) + 2 = 0 no intervalo ]\(0,2\pi\)[ , pode-se afirmar que:
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
IBADE · 2019
Sobre as raízes reais da equação 3sen 2 (x ) + 5 s en (x ) + 2 = 0 no intervalo ]\(0,2\pi\)[ , pode-se afirmar que:
\(\dfrac{3\pi}{2}\) é uma possível raiz da equação.
\(\dfrac{2\pi}{3}\) é uma possível raiz da equação.
\(\dfrac{4\pi}{3}\) é uma possível raiz da equação.
\(\pi\) é uma possível raiz da equação.
\(\dfrac{\pi}{3}\) é uma possível raiz da equação.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comece fazendo a substituição \(y=\sen(x)\). A equação torna-se \(3y^2+5y+2=0\).
Calcule o discriminante: \(\Delta=5^2-4\cdot3\cdot2=1\). Assim \(y=\dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{6}\), ou seja \(y=-\dfrac{3}{2}\) e \(y=-1\).
Como \(\sen(x)\) só pode assumir valores em \([-1,1]\), o valor \(y=-\dfrac{3}{2}\) é impossível. Restando \( \sen(x)=-1\) como única solução válida.
No intervalo \(]0,2\pi[\) o seno vale \(-1\) apenas em \(x=\dfrac{3\pi}{2}\). Portanto \( \dfrac{3\pi}{2}\) é uma raiz da equação.
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