Se \(\alpha\) e \(\beta\) são ângulos complementares, então pode-se afirmar que:

Gabarito

A

Comentário do professor

A alternativa expressa a identidade fundamental da trigonometria: \( \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\). Como \(\alpha\) e \(\beta\) são ângulos complementares, eles são os ângulos agudos de um triângulo retângulo.

Considere um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento \(a\). Pelas definições de seno e cosseno temos os catetos \(b=a\cos\alpha\) e \(c=a\sin\alpha\).

Aplicando o teorema de Pitágoras obtemos \(a^2=b^2+c^2=(a\cos\alpha)^2+(a\sin\alpha)^2=a^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\). Dividindo por \(a^2\) vem \( \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\).

Observe também que, como \(\beta=90^\circ-\alpha\), vale \(\sin\alpha=\cos\beta\) e \(\cos\alpha=\sin\beta\), o que reforça a relação acima.