Questão FC434059
Marque a alternativa que apresenta a sentença correta sobre as propriedades de matrizes transpostas e inversas.
Álgebra Linear Elementar
IBADE · 2019
Marque a alternativa que apresenta a sentença correta sobre as propriedades de matrizes transpostas e inversas.
- \(A=A^T\)
- \(((AB)C)^T=C^TB^TA^T\)
- \((xA+B)^T=x(AB)^T\)
- \(A\, A^{-1}=AI\)
- \(A^T B^{-1}=A^T/B\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
A igualdade afirma que a transposta do produto de três matrizes resulta no produto das respectivas transpostas em ordem inversa.
Aplicando a propriedade fundamental \( (XY)^T = Y^T X^T \) primeiro a \( (AB)C \), obtemos \( ((AB)C)^T = C^T (AB)^T \).
Em seguida aplicamos a mesma propriedade a \( (AB)^T \): \( (AB)^T = B^T A^T \).
Compondo os dois passos chega-se a \( ((AB)C)^T = C^T B^T A^T \), que é exatamente a expressão dada.
Note que a associatividade da multiplicação matricial garante que o modo de agrupar não altera o resultado, e é necessário que as dimensões sejam compatíveis para que todos os produtos existam.
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