A alternativa que apresenta a sentença correta acerca das propriedades de matrizes transpostas e inversas, é:

Gabarito

B

Comentário do professor

Uma matriz \(A^{-1}\) é chamada de matriz inversa de \(A\) quando sua multiplicação por \(A\) fornece a matriz identidade \(I\). A expressão \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\) afirma que \(A^{-1}\) é simultaneamente inverso à direita e à esquerda de \(A\).

Isso significa que, ao multiplicar \(A\) por \(A^{-1}\) em qualquer ordem, o resultado é a identidade, que atua como elemento neutro da multiplicação matricial. Tal propriedade só vale se \(A\) for invertível, isto é, tipicamente uma matriz quadrada com \(\det(A)\neq 0\).

A existência de \(A^{-1}\) garante a unicidade da inversa; não podem existir duas matrizes distintas que satisfaçam \(A X = I\) e \(X A = I\). Na prática, essa relação permite resolver sistemas \(A x = b\) por \(x = A^{-1} b\), quando \(A\) for invertível.