Marque a alternativa que apresenta os valores de x e y, respectivamente, para que as matrizes A e B sejam inversas. \(A = \begin{vmatrix} 3 & x \\ 2 & 4 \end{vmatrix}, B = \begin{v

Gabarito

A

Comentário do professor

Para que \(B\) seja a inversa de \(A\) deve valer \(B=A^{-1}\). Calculemos a inversa de \(A=\begin{pmatrix}3 & x\\[2pt]2 & 4\end{pmatrix}\). O determinante é \(\det A=3\cdot4-2\cdot x=12-2x\), e a adjunta dá \(A^{-1}=\dfrac{1}{12-2x}\begin{pmatrix}4 & -x\\[2pt]-2 & 3\end{pmatrix}\).

Compare o elemento (1,1) de \(A^{-1}\) com o de \(B\): \(\dfrac{4}{12-2x}=\dfrac{2}{5}\). Resolva essa igualdade: \(4\cdot5=2(12-2x)\Rightarrow20=24-4x\Rightarrow x=1\).

Com \(x=1\), o determinante fica \(12-2=10\). Então o elemento (2,2) de \(A^{-1}\) é \(\dfrac{3}{10}\), logo \(y=\dfrac{3}{10}\).

Verificação rápida: os outros elementos coincidem também (\(-x/(12-2x)=-1/10\) e \(-2/(12-2x)=-1/5\)), portanto \(x=1\) e \(y=\tfrac{3}{10}\) garantem \(AB=I\).