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Questão FC434073

Marque a alternativa que apresenta o valor de \(k\) para que o vetor \(\vec V\) seja uma combinação linear dos vetores \(\vec T\) e \(\vec W\) . \(\vec V = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \

Álgebra Linear Elementar

IBADE · 2019

Marque a alternativa que apresenta o valor de \(k\) para que o vetor \(\vec V\) seja uma combinação linear dos vetores \(\vec T\) e \(\vec W\) .

 

\(\vec V = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ k \end{bmatrix}\), \(\vec T = \vec V = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\), \(\vec W = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 5 \end{bmatrix}\)

  1. \(-{ \large 15 \over 7}\)
  2. \(-{ \large 17 \over 3}\)
  3. \(-{ \large 17 \over 7}\)
  4. \(-{ \large 55 \over 7}\)
  5. \(-{ \large 55 \over 6}\)
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Procuramos escalares \(a\) e \(b\) tais que \(a\vec T + b\vec W = \vec V\), ou seja uma combinação linear. Isso gera o sistema: \(3a+2b=2\), \(0\cdot a-2b=3\) e \(-a+5b=k\).

Da segunda equação segue \(b=-\tfrac{3}{2}\). Substituindo na primeira: \(3a+2(-\tfrac{3}{2})=2\) resulta em \(3a-3=2\), então \(a=\tfrac{5}{3}\).

Agora obtém-se \(k\) pela terceira equação: \(k=-a+5b= -\tfrac{5}{3}+5\left(-\tfrac{3}{2}\right)\). Reduzindo a mesma base denominadora: \(k= -\tfrac{10}{6}-\tfrac{45}{6}=-\tfrac{55}{6}\).

Portanto o valor de \(k\) é \(\boxed{-\tfrac{55}{6}}\).

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