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Questão FC434075

Qual é o valor correto de \(\large{1 \over z}\)?

Números Complexos

IBADE · 2025

Em um estudo sobre redes elétricas inteligentes, uma equipe de engenheiros usou o número complexo \(z=3+4.i\), para representar a impedância de um circuito.

 

Considerando a necessidade de inverter o sentido de análise do sistema, foi solicitado o cálculo do inverso multiplicativo desse número complexo, na forma a+b.i.

 

Qual é o valor correto de \(\large{1 \over z}\)?

  1. \(\large{1 \over 3+4i}\)
  2. \(\large{3+4i \over 3-4i}\)
  3. \(\large{3-4i \over 25}\)
  4. \(\large{1 \over 3-4i}\)
  5. \(\large{25 \over 3+4i}\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Queremos calcular \( \dfrac{1}{3+4i} \). Para tornar o denominador real, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \(3-4i\):

\( \dfrac{1}{3+4i}\times \dfrac{3-4i}{3-4i}=\dfrac{3-4i}{(3+4i)(3-4i)}\).

O produto no denominador é diferença de quadrados: \( (3+4i)(3-4i)=3^2-(4i)^2\). Usando i^2 = -1, temos \(9-(16i^2)=9-16(-1)=25\), que é um denominador real.

Logo \( \dfrac{1}{3+4i}=\dfrac{3-4i}{25}\). Em forma \(a+bi\), isso equivale a \( \dfrac{3}{25}-\dfrac{4}{25}i\), que é o resultado final.

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