Sabendo que \(i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1 \;e\; i^3 = -i\), o valor da soma \((1+i) + (1+i)^2 + (1+i)^3 + ... + (1+i)^{51}\) é:

Gabarito

Errado

Comentário do professor

S seja a soma \(S=(1+i)+(1+i)^2+\dots+(1+i)^{51}\). Aplicando a fórmula da soma geométrica para \(r=1+i\) obtemos \(S=\dfrac{(1+i)\big((1+i)^{51}-1\big)}{(1+i)-1}=\dfrac{(1+i)\big((1+i)^{51}-1\big)}{i}.\)

Calcule \( (1+i)^{51}\) usando forma polar: \(1+i=\sqrt2\cis\frac{\pi}{4}\), então \((1+i)^{51}=2^{51/2}\cis\frac{51\pi}{4}=2^{25.5}\cis\frac{3\pi}{4}=2^{25}(-1+i).\)

Multiplicando por \(1+i\) temos \((1+i)^{52}=(1+i)\cdot(1+i)^{51}=-2^{26}\). Assim

\(S=\dfrac{(1+i)^{52}-(1+i)}{i}=\dfrac{-2^{26}-1-i}{i}=(1+2^{26})i-1.\)

Portanto o valor é -1 + (1 + 2^{26})i, que é a alternativa correta.