ABC é um triângulo, Q é o ponto médio de BC e o ponto P é tal que \(AP = { \large 2 \over 3}.AB\) ; M é o ponto de interseção das retas CP e AQ. A razão entre as áreas dos triângul

Gabarito

B

Comentário do professor

Escolha de coordenadas: coloque \(A=(0,0)\), \(B=(3,0)\) (então \(AP=\tfrac{2}{3}AB\) dá \(P=(2,0)\)) e escolha \(C=(0,3)\). O ponto médio \(Q\) de \(BC\) é \(Q=(1{,}5,1{,}5)\).

Interseção M: a reta \(AQ\) é \((1{,}5t,1{,}5t)\) e a reta \(CP\) é \((2s,3-3s)\). Igualando coordenadas: \(1{,}5t=2s\) e \(1{,}5t=3-3s\). Daí \(s=3/5\), \(t=4/5\) e \(M=(6/5,6/5)\).

Áreas: \(\text{Área}_{ABC}=\tfrac12| \det(B-A,C-A)|=\tfrac12(3\cdot3)=\tfrac{9}{2}\).
\(\text{Área}_{AMB}=\tfrac12|\det(B-A,M-A)|=\tfrac12(3\cdot\tfrac{6}{5})=\tfrac{9}{5}\).

Razão: \(\dfrac{\text{Área}_{AMB}}{\text{Área}_{ABC}}=\dfrac{9/5}{9/2}=\dfrac{2}{5}\), que é a resposta correta.