Considere n um número real da matriz P invertível abaixo: \(P = \begin{bmatrix} n + 1 & n + 4 \\ \ n - 2 & n - 1 \end{bmatrix}\) Determine a soma dos elementos da matriz inversa de

Gabarito

A

Comentário do professor

Calcule o determinante de \(P=\begin{bmatrix}n+1 & n+4\\ n-2 & n-1\end{bmatrix}\): \(\det P=(n+1)(n-1)-(n+4)(n-2)=7-2n\).

A matriz inversa de ordem 2 é \(P^{-1}=\dfrac{1}{\det P}\begin{bmatrix}n-1 & -\, (n+4)\\ -\, (n-2) & n+1\end{bmatrix}.\)

Igualando a segunda coluna dada \( \begin{bmatrix}n-10\\ n+1\end{bmatrix}\) ao formato da inversa, pela entrada \(a_{22}\) temos \(\dfrac{n+1}{7-2n}=n+1\). Admitindo \(n+1\neq0\), isso leva a \(1=7-2n\) e então \(n=3\).

Substituindo \(n=3\) em \(P^{-1}\) obtemos \(\begin{bmatrix}2 & -7\\ -1 & 4\end{bmatrix}\). A soma de todos os elementos é \(2-7-1+4=-2\).