Questão FC437742
Um terreno triangular possui vértices nos pontos A, B e C, onde o ângulo ABC é um ângulo reto. No ponto D da hipotenusa AC, uma linha paralela ao cateto AB é traçada, dividindo o t
Geometria Plana
IDCAP · 2024
Um terreno triangular possui vértices nos pontos A, B e C, onde o ângulo ABC é um ângulo reto. No ponto D da hipotenusa AC, uma linha paralela ao cateto AB é traçada, dividindo o triângulo em duas regiões, sendo uma delas um triângulo menor similar ao triângulo original e com área igual a um quarto da área total do triângulo ABC.
Sabendo que o comprimento do cateto AB é 6 metros e o comprimento do cateto BC é 8 metros, determine o comprimento da hipotenusa AC e a distância do ponto D até o vértice A.
- Hipotenusa = 10 m; Distância AD = 5 m
- Hipotenusa = 12 m; Distância AD = 3 m
- Hipotenusa = 10 m; Distância AD = 7,5 m
- Hipotenusa = 12 m; Distância AD = 6 m
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Gabarito
A
Comentário do professor
Temos um triângulo retângulo com catetos \(AB=6\) m e \(BC=8\) m. Pela teorema de Pitágoras, a hipotenusa é \(AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\) m.
Uma linha em \(D\) sobre \(AC\) paralela a \(AB\) gera um triângulo menor semelhante ao original. Como sua área é \(\tfrac{1}{4}\) da área total, a razão linear entre os triângulos é \(\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}\).
Logo, todas as medidas do triângulo menor valem metade das do original: por exemplo \(CD=\tfrac{1}{2}AC=5\) m (hipotenusa do menor), e os catetos correspondentes são \(3\) m e \(4\) m.
Portanto, \(AC=10\) m e a distância de \(D\) até \(A\) é \(AD=AC-CD=10-5=5\) m.
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