Sendo as medidas MN = 4 cm, NP = 2 cm e PQ = 10 cm, determine a medida do ângulo interno M do triângulo PMQ, representado como ângulo β.

Gabarito

D

Comentário do professor

No triângulo retângulo MNP aplicamos o Teorema de Pitágoras para obter a hipotenusa \(MP\). Como \(MN=4\) e \(NP=2\), temos \(MP^2=4^2+2^2=20\), portanto \(MP=2\sqrt5\).

Analogamente, no retângulo MNQ, com \(MN=4\) e \(NQ=NP+PQ=2+10=12\), obtemos \(MQ^2=4^2+12^2=160\), logo \(MQ=4\sqrt{10}\).

No triângulo \(MPQ\) conhecemos os três lados; para achar o ângulo interno em M (denotado \(\beta\)) usamos a Lei dos Cossenos aplicada ao lado oposto \(PQ\): \(PQ^2=MP^2+MQ^2-2\cdot MP\cdot MQ\cdot\cos\beta\).

Substituindo valores: \(10^2=(2\sqrt5)^2+(4\sqrt{10})^2-2\cdot2\sqrt5\cdot4\sqrt{10}\cos\beta\). Simplificando chega-se a \(\cos\beta=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), portanto \(\beta=45^\circ\).