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Questão FC437797

Uma empresa de paisagismo foi contratada para projetar um jardim em formato de hexágono regular em uma área externa. O jardim deve ser construído com caminhos de pedra nas bordas,

Geometria Plana

IDCAP · 2024

Uma empresa de paisagismo foi contratada para projetar um jardim em formato de hexágono regular em uma área externa. O jardim deve ser construído com caminhos de pedra nas bordas, de modo que o perímetro do hexágono seja facilmente acessível.

 

Para o projeto, a empresa de paisagismo definiu que cada lado do hexágono terá 6 metros de comprimento. Além disso, o jardim será decorado internamente com grama, que cobrirá toda a área interna do hexágono.

 

A equipe de paisagismo precisa calcular a área total de grama necessária para cobrir o jardim, assim como o perímetro para o caminho de pedra nas bordas.

 

Qual é a área aproximada de grama que cobrirá o jardim e qual é o perímetro do hexágono? (Conside \(\sqrt{3}\) = 1,732)

  1. Área: 108 m2; Perímetro: 30 m
  2. Área: 93,53 m2; Perímetro: 30 m
  3. Área: 108 m2; Perímetro: 36 m
  4. Área: 93,53 m2; Perímetro: 36 m
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Gabarito

D

Comentário do professor

A área de um hexágono regular de lado \(a\) é dada por \(A=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}\).

Isso resulta ao dividir o hexágono em 6 triângulos congruentes. A altura de cada triângulo é \(h=\dfrac{a\sqrt3}{2}\) (Pitagoras), então a área de um triângulo é \( \dfrac{a\cdot h}{2}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\). Multiplicando por 6 vem \(A=6\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}\).

Com \(a=6\) m: \(A= \dfrac{3\cdot 36\cdot\sqrt3}{2}=54\sqrt3\). Usando \(\sqrt3=1{,}732\) obtém-se \(A\approx 54\times1{,}732=93{,}53\ \text{m}^2\).

O perímetro é a soma dos seis lados: \(6\times6=36\ \text{m}\).

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