Questão FC450155
Dados os números inteiros \(a \, = \, 2^3 \, \times \, 3^2 \, \times \, 5^4\) e \(b \, = \, 2 \, \times \, 3^3 \, \times \, 5^2.\) O quociente entre o Máximo Divisor Comum (MDC) e
Conjuntos
Instituto Verbena · 2025
Dados os números inteiros \(a \, = \, 2^3 \, \times \, 3^2 \, \times \, 5^4\) e \(b \, = \, 2 \, \times \, 3^3 \, \times \, 5^2.\)
O quociente entre o Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre \(a\) e \(b, \,\, \dfrac {MDC (a,b)} {MMC (a,b)}\) é
- um número inteiro.
- uma dízima finita.
- uma dízima periódica infinita.
- uma dízima não periódica infinita.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comece calculando o MDC e o MMC a partir das decomposições: tomam‑se os menores expoentes para o MDC e os maiores expoentes para o MMC. Assim, \(MDC(a,b)=2^1\cdot3^2\cdot5^2=450\).
Do mesmo modo, \(MMC(a,b)=2^3\cdot3^3\cdot5^4=135000\).
A razão é \(\dfrac{MDC}{MMC}=\dfrac{450}{135000}=\dfrac{1}{300}\).
Convertendo para decimal: \(\dfrac{1}{300}=0{,}00333\ldots\) onde o algarismo 3 se repete indefinidamente. Como, na forma irredutível, o denominador tem um fator primo 3 (300 = \(2^2\cdot3\cdot5^2\)), a representação decimal não termina.
Portanto trata‑se de uma dízima periódica infinita, com período 1 (repete o dígito 3).
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