O grupo aditivo \(G \, = \, (Z_6, \, +) \, = \, \{\bar {0}, \, \bar {1}, \, \bar {2}, \, \bar {3}, \, \bar {4}, \, \bar {5} \}\) é cíclico e tem dois elementos que são geradores, u

Gabarito

D

Comentário do professor

\(\bar{5}\) é o gerador porque, em \(\mathbb{Z}_6\), uma classe \(\bar{a}\) gera o grupo se e somente se \( \gcd(a,6)=1\). Assim, \(\gcd(5,6)=1\), logo \(\bar{5}\) é um gerador.

Mostra-se também pela soma repetida:

\(1\cdot\bar5=\bar5,\;2\cdot\bar5=\bar{10}=\bar4,\;3\cdot\bar5=\bar{15}=\bar3,\;4\cdot\bar5=\bar{20}=\bar2,\;5\cdot\bar5=\bar{25}=\bar1,\;6\cdot\bar5=\bar{30}=\bar0\).

Daí obtemos todas as classes de \(\mathbb{Z}_6\), o que mostra que a ordem de \(\bar5\) é 6 e que \(\bar5\) realmente gera todo o grupo.