Dados os números inteiros positivos \(10^a\) ∙ \(15^b\) e \(14^c\) ∙ \(21^d\), sabe-se que a razão entre o mínimo múltiplo comum destes números e o máximo divisor comum destes núme

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Decompondo: \(10^a\cdot15^b=2^a\cdot3^b\cdot5^{\,a+b}\) e \(14^c\cdot21^d=2^c\cdot3^d\cdot7^{\,c+d}\).

O \b>MMC toma os maiores expoentes e o \b>MDC os menores, logo a razão é \( \dfrac{MMC}{MDC}=2^{|a-c|}\cdot3^{|b-d|}\cdot5^{a+b}\cdot7^{c+d}.\)

Como \(1225=5^2\cdot7^2\) não tem fatores 2 ou 3, devemos ter \(|a-c|=0\) e \(|b-d|=0\), ou seja, \(a=c\) e \(b=d\). Assim \( \dfrac{MMC}{MDC}=5^{a+b}\cdot7^{a+b}=(35)^{a+b}=35^2.\)

Daí \(a+b=2\) e \(c+d=a+b=2\), logo \(a+b+c+d=4\).