Um número inteiro positivo quando dividido por 12 resulta em uma potência de 5. Se a quantidade de divisores positivos desse número é 72, então o expoente da potência de 5 é

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja n um inteiro positivo e k o expoente tal que \( \dfrac{n}{12}=5^k \).

Logo \(n=12\cdot5^k\). Fatorando 12 obtemos \(12=2^2\cdot3^1\), então \(n=2^2\cdot3^1\cdot5^k\).

O número de divisores de um inteiro fatorado em primos é o produto dos sucessores dos expoentes, porque para cada primo com expoente e podemos escolher potências de 0 até e. Assim

\((2+1)(1+1)(k+1)=72\). Ou seja \(3\cdot2\cdot(k+1)=72\), então \(6(k+1)=72\).

Daí \(k+1=12\) e portanto k = 11. Logo o expoente da potência de 5 é 11.