Questão FC450182
Se ele escolher, no início da brincadeira, o número 60, qual será o conjunto C obtido ao final da brincadeira?
Conjuntos
Instituto Verbena · 2022
Um jovem brinca de analisar conjuntos numéricos da seguinte forma: primeiro ele escolhe um número natural \(n\) e descreve o conjunto A formado por todos os divisores positivos de \(n\). Na sequência, ele determina o número \(m\) que corresponde à mediana do conjunto A. Quando \(m\) é um número par, determina-se o conjunto B formado por todos os múltiplos da metade de \(m\) que são menores ou iguais a \(n\). Quando \(m\) é um número ímpar, o conjunto B é formado por todos os múltiplos de \(m\) que são menores que \(n\). Por fim, o jovem constrói o conjunto C, que é a interseção dos conjuntos A e B.
Se ele escolher, no início da brincadeira, o número 60, qual será o conjunto C obtido ao final da brincadeira?
- C=\(\varnothing\)(conjunto vazio).
- C = {4,12,20,60}.
- C={4,12,20,40,60}.
- C={2,3,4,12,40,60}.
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Gabarito
B
Comentário do professor
Escolhemos \(n=60\).
O conjunto A é o conjunto dos divisores positivos de 60: \(A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}\).
Calculamos a mediana de A. Como A tem número par de elementos, tomamos a média dos dois termos centrais \(6\) e \(10\): \(m=\dfrac{6+10}{2}=8\).
Como \(m\) é par, o conjunto B é formado pelos múltiplos de \(m/2=4\) menores ou iguais a 60, ou seja, os números \(4,8,12,\dots,60\).
A interseção C = A \cap B são os divisores de 60 que também são múltiplos de 4, resultando em \(C=\{4,12,20,60\}\).
Observação: não foi necessário listar todos os múltiplos de 4; bastou verificar quais elementos de A são divisíveis por 4.
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