Qual dos números a seguir é irracional?

Gabarito

B

Comentário do professor

Afirma-se que \(10\sqrt{10}\) é irracional. A razão é dupla: primeiro mostramos que \(\sqrt{10}\) é irracional; depois usamos que o produto de um racional não nulo por um irracional é irracional.

Suponha, por prova por contradição, que \(\sqrt{10}=\dfrac{p}{q}\) com \(p,q\in\mathbb{Z}\), \(q\neq0\) e mdc\((p,q)=1\). Ao elevar ao quadrado obtém-se \(p^2=10q^2\). Assim \(p^2\) é múltiplo de 2 e de 5, logo \(p\) é múltiplo de 2 e de 5, isto é, de 10. Escrevendo \(p=10k\) e substituindo volta-se a obter que \(q\) também é múltiplo de 10, contradizendo mdc\((p,q)=1\). Logo \(\sqrt{10}\) é irracional.

Como 10 é racional e não nulo, se \(10\sqrt{10}\) fosse racional então \(\sqrt{10}=(10\sqrt{10})/10\) seria racional, contradição. Portanto \(10\sqrt{10}\) é irracional.