Qual o elemento do conjunto \(A=\{0,22...,2,\sqrt{2}{,\frac{0}{2}\}\) pertencente ao conjunto dos números irracionais?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

√2 é um número irracional, ou seja, não pode ser escrito como fração exata de dois inteiros e sua representação decimal é não periódica e infinita.

A demonstração clássica é por prova por contradição. Suponha que \( \sqrt{2}=\frac{p}{q} \) com \(p,q\in\mathbb{Z}\), \(q\neq0\), e a fração na forma irredutível (mdc\((p,q)=1\)). Elevando ao quadrado temos \(p^2=2q^2\). Assim \(p^2\) é par, logo \(p\) é par, escrevendo \(p=2k\). Substituindo obtém-se \(4k^2=2q^2\), ou \(q^2=2k^2\), então \(q^2\) é par e \(q\) é par.

Como isso implica que \(p\) e \(q\) têm fator 2 em comum, contradiz a hipótese de irredutibilidade. Logo \( \sqrt{2} \) não é racional, isto é, é irracional.