O número de Euler é uma constante matemática representada por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler. Sabendo que \(e \approx 2,71828\), qual o conjunto numérico que pos

Gabarito

D

Comentário do professor

e pertence ao conjunto dos números irracionais. Isso significa que não existe fração \(p/q\) de inteiros que o represente, e sua expansão decimal é infinita e sem período.

Uma demonstração direta usa a série \(\;e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\). Suponha, por absurdo, que \(e=p/q\). Multiplicando ambos os lados por \(q!\) obtemos uma soma onde a parte até \(k=q\) é inteira, enquanto o resto \(R=q!\sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{1}{k!}\) é positiva e estritamente menor que 1. Assim \(q!e\) seria um inteiro mais uma fração entre 0 e 1, o que contradiz \(q!e\) ser inteiro. Logo, \(e\) não é racional, isto é, é irracional.