Se a e b são números reais pertencentes ao intervalo (0,1), então o número a-1+b-1+(ab)-1 pertence a qual intervalo?

Gabarito

A

Comentário do professor

Partindo de \(0recíprocos satisfazem \(a^{-1}=\dfrac{1}{a}>1\) e \(b^{-1}=\dfrac{1}{b}>1\).

Como produtos de números maiores que 1 também são maiores que cada fator, segue \((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}>1\).

Portanto cada uma das parcelas \(a^{-1}\), \(b^{-1}\) e \((ab)^{-1}\) é estritamente maior que 1, e sua soma satisfaz \(a^{-1}+b^{-1}+(ab)^{-1}>1+1+1=3\).

Além disso, ao fazer \(a\) e \(b\) arbitrariamente próximos de 0, a soma cresce sem limite superior, logo o valor pertence ao intervalo \((3,\infty)\).