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Questão FC450546

Leia o texto a seguir. Na obra médica de Susruta, renomado médico e cirurgião da Índia antiga, escrita cerca de seis séculos antes da era cristã, encontramos um estudo sobre as com

Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)

Instituto Verbena · 2025

Leia o texto a seguir. 

 

Na obra médica de Susruta, renomado médico e cirurgião da Índia antiga, escrita cerca de seis séculos antes da era cristã, encontramos um estudo sobre as combinações de sabores de medicamentos. Segundo o médico, os seis sabores - amargo, azedo, salgado, adstringente, doce e picante - tomados sozinhos, ou seja, em grupos de um, tomados em duplas, em trios, e assim por diante até agrupar todos ao mesmo tempo, formam exatamente 63 combinações diferentes, ou seja, sabores de medicamentos distintos. 

 

CHAKRAVARTI, Gurugovinda. Growth and Development of Permutations and Combinations in India. Bulletin of Calcutta Mathematical Society, 24 (1932), 79–88. [Adaptado]. 

 

Considerando A e C, respectivamente, os símbolos matemáticos para arranjo simples e combinação simples, a expressão a partir da qual obtém-se o mesmo resultado a que chegou Susruta é

  1. \(2(C_{6,1} + c_{6,2})+C_{6,3} + C_{6,6}\).
  2. \(6!-A_{6,1} + A_{6,2} + A_{6,3} + A_{6,4} + A_{6,5}+A_{6,6}\).
  3. \(2(A_{6,1}-C_{6,1}) + A_{6,3}+A_{6,6} - C_{6,3}-C_{6,6}\).
  4. \(6!-C_{6,1} + C_{6,2} + C_{6,3}+C_{6,4} + C_{6,5}+C_{6,6}\).
  5. \(2(A_{6,1} + A_{6,2} + A_{6,3} A_{6,6}\).
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Gabarito

A

Comentário do professor

A expressão correta representa a soma de todas as escolhas não vazias de 6 sabores: \(C_{6,1}+C_{6,2}+C_{6,3}+C_{6,4}+C_{6,5}+C_{6,6}\).

Usamos a propriedade \(\boldsymbol{C_{n,k}=C_{n,n-k}}\) para agrupar termos simétricos: \(C_{6,1}=C_{6,5}\) e \(C_{6,2}=C_{6,4}\).

Substituindo e reordenando obtemos \(2C_{6,1}+2C_{6,2}+C_{6,3}+C_{6,6}\), que é a mesma que \(2(C_{6,1}+C_{6,2})+C_{6,3}+C_{6,6}\).

Calculando os valores: \(C_{6,1}=6\), \(C_{6,2}=15\), \(C_{6,3}=20\), \(C_{6,6}=1\). Assim \(2(6+15)+20+1=42+21=63\), coincidente com o total indicado por Susruta.

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