Questão FC450576
Uma partição de um número natural n é uma maneira de representá-lo como soma de números naturais em que a ordem das parcelas pode ou não importar. Quando a ordem importa, a partiçã
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto Verbena · 2023
Uma partição de um número natural n é uma maneira de representá-lo como soma de números naturais em que a ordem das parcelas pode ou não importar. Quando a ordem importa, a partição é chamada de ordenada; quando não importa, não-ordenada. O número 3, por exemplo, possui duas partições não ordenadas: 1+1+1 e 1+2 e três partições ordenadas: 1+1+1, 1+2 e 2+1. Qual a diferença entre o número de partições ordenadas e não ordenadas do número 4?
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para encontrar a diferença solicitada, primeiro listamos as partições não ordenadas de 4, ou seja, somas em que a ordem das parcelas não importa:
1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 2
1 + 3
2 + 2
São, portanto, 4 partições não ordenadas.
Agora contamos as partições ordenadas, obtidas permutando as parcelas de cada caso acima:
1+1+1+1 → 1 permutação
1+1+2 → 3 permutações (1+1+2, 1+2+1, 2+1+1)
1+3 → 2 permutações (1+3, 3+1)
2+2 → 1 permutação
O total de partições ordenadas é 1+3+2+1 = 7. A diferença é \(7-4=3\).
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