Qual deve ser o maior valor de k para que a equação x2+x+k=0 possua soluções reais?

Gabarito

D

Comentário do professor

Para que a equação \(x^2+x+k=0\) tenha soluções reais usamos o critério da discriminante. Para uma quadrática \(ax^2+bx+c\) a discriminante é \(\Delta=b^2-4ac\).

Aqui \(a=1\), \(b=1\), \(c=k\), então \(\Delta=1-4k\). A condição para raízes reais é \(\Delta\ge 0\).

Portanto \(1-4k\ge 0\), de onde \(k\le \tfrac{1}{4}\). Assim o maior valor de k que ainda garante soluções reais é \(\tfrac{1}{4}\).

Quando \(k=\tfrac{1}{4}\) ocorre uma raiz dupla, dada por \(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\). Se \(k<\tfrac{1}{4}\) há duas raízes reais distintas.