Sejam a, b dois números estritamente positivos, dizemos que a e b estão em razão áurea se \((a+b)/a=a/b\). Se \(c=a/b\) e os números a e b estão em razão áurea, então o valor de c

Gabarito

D

Comentário do professor

Se \(a,b>0\) e estão em razão áurea, vale \(\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}\).

Definindo c como \(c=\dfrac{a}{b}\), reescrevemos: \(1+\dfrac{b}{a}=c\). Como \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{c}\), obtemos \(1+\dfrac{1}{c}=c\).

Multiplicando por \(c\) surge a equação quadrática \(c^2-c-1=0\).

Aplicando a fórmula de Bhaskara: \(c=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\).

Como \(c=\dfrac{a}{b}>0\), escolhemos a raiz positiva. Logo \(c=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\).