Em uma progressão aritmética, sabe-se que a média aritmética dos seus cinco primeiros termos é 32 e a média aritmética dos seus quinze primeiros termos é 67. Qual o vigésimo termo

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Do enunciado temos as médias: a média dos 5 primeiros termos é 32, logo S₅ = \(5\cdot32=160\). A média dos 15 primeiros é 67, logo S₁₅ = \(15\cdot67=1005\).

Usando a fórmula da soma de uma PA, \(S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)\), para n=5 obtemos \(a_1+a_5=64\) e para n=15 obtemos \(a_1+a_{15}=134\).

Com o termo geral \(a_n=a_1+(n-1)r\), substituímos: \(a_1+(a_1+4r)=64\Rightarrow a_1+2r=32\) e \(a_1+(a_1+14r)=134\Rightarrow a_1+7r=67\).

Subtraindo as equações vem \(5r=35\), então \(r=7\). Substituindo em \(a_1+2r=32\) obtém-se \(a_1=18\).

Finalmente, o vigésimo termo é \(a_{20}=a_1+19r=18+19\cdot7=151\). Portanto, o termo 20 é 151.