Questão FC450662
Quantos computadores faziam parte da rede infectada pelo vírus?
Progressão Geométrica
Instituto Verbena · 2024
Leia o caso a seguir.
Um computador infectado com um vírus em uma rede infecta 3 novos computadores, uma única vez, da rede no dia seguinte à sua contaminação. Considere que, em determinado dia, um dos computadores dessa rede foi infectado por esse vírus. No segundo dia, outros 3 computadores estavam infectados. No terceiro dia, mais outros 9 computadores da rede estavam infectados. Até que no décimo dia todos os computadores da rede estavam infectados pelo vírus.
Elaborado pelo(a) autor(a).
Quantos computadores faziam parte da rede infectada pelo vírus?
- 19.682.
- 19.683.
- 29.524.
- 29.526.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Do enunciado, cada computador infectado, no dia seguinte à contaminação, gera exatamente 3 novos infectados e não volta a infectar. Assim, o número de novos infectados por dia forma uma progressão geométrica de razão 3, com primeiro termo 1.
No dia \(n\) o número de novos infectados é \(a_n=3^{\,n-1}\). Como no décimo dia todos já estavam infectados, o total da rede é a soma dos novos infectados dos dias 1 a 10.
Essa soma é \(S_{10}=1+3+3^2+\cdots+3^9=\dfrac{3^{10}-1}{3-1}\).
Calculando: \(3^{10}=59\,049\), então \(S_{10}=\dfrac{59\,049-1}{2}=\dfrac{59\,048}{2}=29\,524\). Logo, havia 29.524 computadores na rede.
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