Considere o seguinte processo de construção de quadrados: o primeiro quadrado tem lado l; o segundo quadrado tem lado l/10; o terceiro quadrado tem lado l/100 e assim por diante. Q

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Os lados formam uma sequência em que cada termo vale a décima parte do anterior, mas para somar áreas devemos trabalhar com os quadrados dos lados.

Assim, as áreas formam uma progressão geométrica com primeiro termo \(a_1 = l^2\) e razão \(r = \left(\dfrac{1}{10}\right)^2 = \dfrac{1}{100}\).

A soma infinita de uma PG com \(|r|<1\) é \(S=\dfrac{a_1}{1-r}\). Aqui temos \(S=\dfrac{l^2}{1-\tfrac{1}{100}}.\)

Calculando, \(S=\dfrac{l^2}{\tfrac{99}{100}}=\dfrac{100}{99}\,l^2\). Portanto, a soma das áreas é \(\dfrac{100}{99}l^2\).