Considere que a sequência (a - b, a2 - b2, a3 - b3 + 84, ...) é uma progressão geométrica. Se ab = 7, então o valor de a - b é

Gabarito

D

Comentário do professor

A sequência é uma progressão geométrica, então os termos são \(a_1=a-b\), \(a_2=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

O razão \(q\) vem de \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b\). Assim o terceiro termo da PG é \(a_3=a_1q^2=(a-b)(a+b)^2\).

Pelo enunciado, \(a_3=a^3-b^3+84\). Igualando as expressões: \((a-b)(a+b)^2=(a^3-b^3)+84\). Usando \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) obtemos

\((a-b)\big[(a+b)^2-(a^2+ab+b^2)\big]=84\). O parêntese simplifica para \(ab\), ficando \((a-b)\,ab=84\).

Como \(ab=7\), segue \((a-b)\cdot 7=84\) e portanto \(\boxed{a-b=12}\).