Um garoto decide brincar de construir quadrados. Ele iniciou com um quadrado de lado \(\sqrt 2\) cm e, a cada fase da brincadeira, ele construiu um novo quadrado cujo lado media o

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Começamos com um quadrado de lado \( \sqrt{2}\) cm; o seu perímetro é \(4\sqrt{2}\) cm, que é o primeiro termo da sequência de perímetros.

Como a cada fase o lado dobra, o perímetro também dobra. Logo, os perímetros formam uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo \(a_1=4\sqrt{2}\) e razão \(q=2\), totalizando \(n=12\) termos.

A soma dos \(n\) primeiros termos de uma PG é \(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}\). Substituindo: \(S_{12}=\dfrac{4\sqrt{2}(2^{12}-1)}{2-1}=4\sqrt{2}(4096-1)=4\sqrt{2}\cdot4095.\)

Portanto, a soma dos perímetros é \(4\cdot4095\sqrt{2}=16380\sqrt{2}\) cm, correspondente à alternativa correta.