Questão FC450676
Um estudante estava observando um triângulo equilátero de lado \(l\) e resolveu implementar um jogo com ele. O início se deu pelo triângulo que ele tinha e a cada nova jogada, ele
Progressão Geométrica
Instituto Verbena · 2023
Um estudante estava observando um triângulo equilátero de lado \(l\) e resolveu implementar um jogo com ele. O início se deu pelo triângulo que ele tinha e a cada nova jogada, ele construía um novo triângulo equilátero com o lado medindo a altura do triângulo construído na jogada anterior. Após 90 jogadas, qual é a soma das alturas de todos os triângulos construídos?
- \(\frac{\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}(\frac{4^{90}-3^{90}}{4^{90}})\).
- \(\frac{\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}(\frac{4^{45}-3^{45}}{4^{45}}).\).
- \(\frac{\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}(\frac{3}{4})^{45}\).
- \(\frac{\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}(\frac{3}{4})^{90}\).
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Gabarito
B
Comentário do professor
Começamos calculando a altura do triângulo equilátero: aplicando Pitágoras, \(h=\dfrac{l\sqrt3}{2}\).
Cada novo triângulo tem lado igual à altura anterior, portanto as alturas formam uma progressão geométrica com \(a_1=\dfrac{l\sqrt3}{2}\) e razão \(q=\dfrac{\sqrt3}{2}\).
A soma dos 90 termos é \(S_{90}=a_1\frac{1-q^{90}}{1-q}\). Observando \(q^{90}=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{90}=\dfrac{3^{45}}{2^{90}}=\dfrac{3^{45}}{4^{45}}\) e \(1-q=\dfrac{2-\sqrt3}{2}\),
simplificando obtemos \(S_{90}=\dfrac{\tfrac{l\sqrt3}{2}\left(1-\dfrac{3^{45}}{4^{45}}\right)}{\tfrac{2-\sqrt3}{2}}=\dfrac{l\sqrt3}{2-\sqrt3}\left(\dfrac{4^{45}-3^{45}}{4^{45}}\right)\).
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