Considere as duas funções: \(f(x) = -x^2 + 5x - 6\) e \(g(x) = mx\), sendo \(m\) um número real. O menor valor de \(m\), para que o gráfico da função \(g\) intersecte o gráfico da

Gabarito

A

Comentário do professor

Para encontrar os pontos de interseção igualamos \(f(x)\) e \(g(x)\):

\(-x^2+5x-6=mx\). Fazendo as operações obtemos a equação quadrática \(x^2+(m-5)x+6=0\).

O número de soluções dessa equação corresponde ao número de pontos em que os gráficos se cruzam. Para que haja apenas um ponto de interseção, a equação deve ter raízes coincidentes, isto é, seu discriminante deve ser zero.

Calculando o discriminante: \(\Delta=(m-5)^2-4\cdot1\cdot6=(m-5)^2-24\). Impor \(\Delta=0\) dá \((m-5)^2=24\).

Assim \(m=5\pm\sqrt{24}\). O menor valor possível é \(m=5-\sqrt{24}\), que também pode ser escrito como \(5-2\sqrt{6}\).