Uma função quadrática é dada pela lei f(x) = -x2 + 2ax + b, em que a e b são constantes para serem determinadas de tal forma que o valor máximo dessa função seja um valor fixado. P

Gabarito

B

Comentário do professor

Para encontrar o valor máximo de \(f(x)=-x^2+2ax+b\), é prático fazer a completar o quadrado. Reescrevendo:

\(f(x)=-(x^2-2ax)+b=-(x^2-2ax+a^2)+b+a^2=-(x-a)^2+(a^2+b)\).

Da forma acima fica claro que a parábola é voltada para baixo e atinge seu valor máximo quando \((x-a)^2=0\), isto é em \(x=a\). O valor máximo é então \(a^2+b\).

Para que esse máximo seja 10, impõe-se \(a^2+b=10\). Multiplicando ambos os lados por 2 resulta \(2a^2+2b=20\).

Portanto o valor pedido é 20.