Observe a função a seguir. h(x) = ex – 2x + ln(x) – log3(x) + 2025 Elaborado pelo(a) autor(a). A derivada de segunda ordem da função é

Gabarito

B

Comentário do professor

Comece derivando termo a termo. A derivada de \(e^x\) é \(e^x\). A derivada de \(2^x\) obtém-se escrevendo \(2^x=e^{x\ln2}\), dando \(2^x\ln2\). A derivada de \(\ln(x)\) é \(1/x\). A derivada de \(\log_3(x)\) usa mudança de base \(\log_3(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln3}\), então \(\dfrac{d}{dx}\log_3(x)=\dfrac{1}{x\ln3}\).

Logo, h'(x) é \(e^x-2^x\ln2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x\ln3}\).

Derivando novamente cada termo: \(e^x\) permanece \(e^x\). A derivada de \(-2^x\ln2\) é \(-2^x\ln^2 2\). A derivada de \(1/x\) é \(-1/x^2\). A derivada de \(-1/(x\ln3)\) resulta em \(+1/(x^2\ln3)\).

Portanto, h''(x) é \(h''(x)=e^x-2^x\ln^2 2-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2\ln3}\).