O conjunto formado por todos os números reais que satisfazem a inequação |x - 1| + |x - 2| \(\le\) 2 é o intervalo

Gabarito

D

Comentário do professor

Usamos a propriedade triangular: \( |(x-1)+(x-2)| \le |x-1|+|x-2| \). Assim, da desigualdade dada segue \( |2x-3| \le 2\).

Resolvendo \( |2x-3|\le 2\): \(-2\le 2x-3\le 2\), portanto \( \tfrac{1}{2}\le x\le \tfrac{5}{2}\).

Para verificar que todo \(x\) desse intervalo satisfaz a inequação original, examine três casos:

Se \( \tfrac{1}{2}\le x\le 1\), então \( |x-1|+|x-2|=3-2x\le 2\).
Se \(1\le x\le 2\), então \( |x-1|+|x-2|=1\le 2\).
Se \(2\le x\le \tfrac{5}{2}\), então \( |x-1|+|x-2|=2x-3\le 2\).

Conclusão: o conjunto solução é \( \left[\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2}\right]\).