Uma composição das três funções reais f(x) = |1 - x|, g(x) = -x2 + x - 2 e h(x) = e-2x+4, cuja imagem assume valores negativos é:

Gabarito

D

Comentário do professor

Queremos mostrar que a composição \(g(h(f(x)))\) tem imagem negativa para todo \(x\in\mathbb{R}\).

A função f(x) é \(f(x)=|1-x|\), portanto \(f(x)\geq 0\) para todo \(x\). Assim o argumento de \(h\) é sempre não negativo.

A função h é \(h(t)=e^{-2t+4}\). Como a exponencial é sempre positiva, temos \(h(f(x))>0\) para todo \(x\).

A função g é \(g(u)=-u^{2}+u-2=-(u^{2}-u+2)\). O trinômio \(u^{2}-u+2\) tem discriminante \(\Delta=1-8=-7<0\) e o coeficiente de \(u^{2}\) em \(g\) é negativo, logo \(g(u)<0\) para todo \(u\in\mathbb{R}\).

Como \(h(f(x))>0\) é um número real qualquer e \(g(u)<0\) para todo \(u\), resulta que \(g(h(f(x)))<0\) para todo \(x\). Portanto a imagem da composição assume valores negativos.