Sabendo-se que sen(β) + cos(β) = 9/4 e β é um ângulo agudo, qual é o valor de (1/5).sen(2β)?

Gabarito

B

Comentário do professor

Usamos a identidade básica: \( (\sin\beta+\cos\beta)^2=\sin^2\beta+\cos^2\beta+2\sin\beta\cos\beta=1+\sin2\beta\).

Como \(\sin\beta+\cos\beta=9/4\), segue \(\sin2\beta=(9/4)^2-1=81/16-1=65/16\).

Portanto \(\frac{1}{5}\sin2\beta=\frac{1}{5}\cdot\frac{65}{16}=\frac{65}{80}=\frac{13}{16}\).

Observação: a hipótese é incompatível com valores usuais de seno e cosseno (o resultado de \(\sin2\beta\) excede 1), mas a manipulação algébrica da identidade conduz ao valor pedido \(\frac{13}{16}\).